## 随机问题
> **问题描述**
>
> 对于给定的数组 $Q$ ，将其每个元素随机分布在数组中，并且使得之后每个元素被取到的概率相等？
### Shuffle 算法
#### Code
```java
public static void shuffle(int[] q) {
for (int i = q.length - 1; i >= 0; i--)
swap(q, i, (int) (Math.random() * (i + 1)));
}
```
#### 随机性证明
设整个数组长度为 $length$，当前元素下标为 $i\in[0,length-1]$ ，每次从 $[0,i]$ 中选择一个元素进行交换。
在第一次交换中，各个元素被选中的概率为 $\frac{1}{i+1}$
第二次交换中，任一元素被选中的概率为 $\frac{i}{i+1}*\frac{1}{i}=\frac{1}{i+1}$
以此类推，各个元素被选中的概率都为 $\frac{1}{i+1}$ ，可得出概率相等
---
> **问题描述**
>
> 那么现在问题升级了，由于数据集比较大并且在不断增加，我们无法将所有数据全部都放到内存中
>
> 那么是否有办法在这个数据流（可设其总数为 $I$ ）中选出一个元素，使得在时间复杂度 $O(N)$ 的情况下，该元素被选中的概率为与其他元素被选中的概率相等？
### 蓄水池抽样算法
#### Code
```java
public class RandomSelect {
public static int sampling(int[] q) {
int t = 0;
for (int i = 1; i <= q.length; i++) {
if (Math.random() < 1 / i) t = q[i - 1];
}
return t;
}
}
```
#### 随机性证明
设整个数组元素个数为 $length$，当前元素下标为 $i\in[1,length]$ 。
- 当 $i=1$ 时，必然选择第一个元素。
- 当 $i=2$ 时，选择第一个元素的条件为上次筛选被选中，且本次筛选没有被排除，则有 $1*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ，
- 当 $i=3$ 时，任然选择第一个元素的概率为 $\frac{1}{2}*(1-\frac{1}{3})=\frac{1}{2}*\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ ，
依此类推，可得选择任一元素（设其下标为 $j$ ）的概率为 $\frac{1}{j}*(1-\frac{1}{j+1})*...*(1-\frac{1}{i-1})*(1-\frac{1}{i})=\frac{1}{i}$ 故该算法可以确保选择出的元素的随机性。
#### 升级
##### 数组抽样问题
> **问题描述**
>
> 那么如果要选择出 $K$ 个元素，使得选出的元素在整个数据集（可设其总数为 $I$ ）中出现的概率相等
###### Code
```java
public class RandomSelect {
private static final int N = 5;
private static final int[] q = new int[N];
private static int ptr = 0;
public static int[] sampling(int[] txt, int k) {
for (int i = 1; i <= txt.length; i++) {
if (i <= k) q[idx++] = txt[i - 1];
else {
int j = (int) (Math.random() * i) + 1;
if (j < k) q[j - 1] = txt[i - 1];
}
}
return q;
}
}
```
###### 随机性证明
设整个数组非空长度为 $N$，当前元素下标为 $i\in[1,length]$ ，要选择的元素个数为 $K$ ，随机数的值为 $R$
- **当 $i\le K$ 时**，每个元素被选中进入数组的概率为 $1$ 。
- **当 $i>K$ 时**
1. 当 $i=K+1$ 时，第 $i$ 个元素被选中进入数组的前提为**随机数的值** $R\in[0,K]$ ，则概率为 $\frac{K}{K+1}*\frac{1}{K}=\frac{1}{K+1}$ ，不进入数组的概率则为 $1-\frac{1}{K+1}=\frac{K}{K+1}$
2. 由此可得，当 $i=N$ 时，第 $i$ 个元素进入数组的概率为 $\frac{K}{N}*\frac{1}{K}=\frac{1}{N}$，同时不进入数组的概率为 $\frac{N-1}{N}$
故数组中的每个元素数据不被替换的概率为 $\frac{K}{K+1}*\frac{K+1}{K+2}*...*\frac{N-1}{N}=\frac{K}{N}$
##### 分布式抽样问题
> **问题描述**
>
> 当数据量规模十分巨大时，单机的内存访问，磁盘 I/O，CPU 频率就会成为数据吞吐量的瓶颈，此时常常采用分布式的结构来分担数据压力，提高吞吐量。
>
> 那么如果使用分布式的方式，又要如何保证均匀的取样呢？
###### 算法过程
> 设分布式架构下有 $N$ 台机器，处理的总数据量为 $S$，取样值为 $M$
1. 将整个数据流分为 $N$ 个子流，分布到所有机器上，处理的数据量记为 $N_{1},N_{2},N_{3},...,N_{N}$（同时记 $N_0=0$），同时每台机器都运行一个蓄水池抽样模型，取得 $M$ 个数据
2. 生成一个随机数 $R\in[1, S]$，如果 $R\in[\sum{N_0+N_1+...+N_{i-1}},\sum{N_0+N_1+...+N_{i-1}}+N_i]$，则从 $N_i$ 的取样中再次取样加入到最终取样中
3. 循环第 2 步 $M$ 次
###### 随机性证明
1. 在第 $K$ 台机器上取样值的概率为 $\frac{M}{N_K}$
2. 随机数取值在第 $K$ 个区间的概率为 $\frac{N_K}{S}$
3. 在第 $K$ 个取样值中随机取样取到任意元素的概率为 $\frac{1}{M}$，循环取值 $M$ 次
故最后的取样值 $M$ 相对于总数据流数量 $S$ 的概率为 $\frac{M}{N_K}*\frac{N_K}{S}*\frac{1}{M}*M=\frac{M}{S}$，故可以确保随机取样。
## Top K 问题
> **问题描述**
>
> 在一个数据集中，选择出第 $K$ 大的元素
### 快速排序
可以将所有数据读取到内存中排序并取下标取值
#### Code
```java
public class TopK {
public static int get(int[] q, int k) {
sort(q, 0, q.length - 1);
retunr q[k - 1];
}
private static void sort(int[] q, int l, int r) {
if (l >= r) return;
int i = l - 1, j = r + 1, k = q[l + r >> 1];
while (i < j) {
do i++; while (q[i] < k);
do j--; while (q[j] > k);
if (i < j) swap(q, i, j);
}
sort(q, l, j); sort(q, j + 1, r);
}
}
```
#### 时间复杂度
由于每一次调用函数都遍历了整个数组，同时每一次递归调用都会将数组二分，直到区间中只有一个元素
故时间复杂度为 $O(N*logN)$ 即 $O(NlogN)$
### 堆排序
将所有数据依次读取到堆中，同时维持堆大小为 $K$
#### Code
```java
public class TopK {
private static final PriorityQueue<Integer> que = new PriorityQueue<>();
public static void get(int[] q, int k) {
for (var i : q) {
if (que.size() < k) que.add(i);
else if (que.peek() < i) {
que.poll();
que.add(i);
}
}
return que.peek();
}
}
```
#### 时间复杂度分析
首先需要遍历整个数据集，同时堆进行大小为 $K$ 排序（底层为树的排序，故时间复杂度 $logK$），故时间复杂度为 $O(NlogK)$
### 快速选择算法
快排思想 + 二分思想，每次选取一半的区间
#### Code
```java
public class TopK {
public static int quickSelect(int[] q, int l, int r, int t) {
if (l == r) return q[k];
int i = l - 1, j = r + 1, k = q[l + r >> 1];
while (i < r) {
do i++; while (q[i] < k);
do j--; while (q[j] > k);
if (i < j) swap(q, i, j);
}
if (k <= j) return quickSelect(q, l, j, k);
else return quickSelect(q, j + 1, r, k);
}
}
```
#### 时间复杂度分析
第一次遍历整个数组 $N$ ，第二次遍历选择出的数组的一半，期望值为 $O(\frac{N}{2})$ ···
由极限收敛可得，时间复杂度为 $O(\sum{N +\frac{N}{2}+\frac{N}{4}+...})=O(N *\sum{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...})=O(2N)=O(N)$
## 参考
- [蓄水池抽样算法（Reservoir Sampling）](https://www.jianshu.com/p/7a9ea6ece2af)
- [【经典算法题】蓄水池抽样算法](https://www.bilibili.com/video/BV17i4y1j7wE)
随机问题与 Top K 问题
